Ebola w liczbach: matematyka w służbie walki z epidemią

W czasie niedawnej epidemii gorączki krwotocznej Ebola na terenie Afryki Zachodniej porty lotnicze w Stanach Zjednoczonych, Wielkiej Brytanii oraz wielu krajach europejskich wprowadziły procedury poddawania ścisłej kontroli pasażerów przylatujących z krajów podwyższonego ryzyka, w tym mierzenie temperatury ciała. Tego typu procedury wydawały się być rozsąnym środkiem ostrożności – jednak najnowsze badania, oparte na zastosowaniu prostych obliczeń do przeanalizowania znanych faktów dowodzą, że nie mogły okazać się one skuteczne.

Według wyników badań opublikowanych w British Medical Journal (Mabey et al, 2014), strategia poddawania pasażerów ścisłej kontroli nie będzie miała większego wpływu na przedostanie się wirusa Ebola na teren Wielkiej Brytanii.” Argumenty autorów są bardzo proste: jeśli założymy, że nikt, kto już ma objawy gorączki krwotocznej Ebola nie zostanie wpuszczony na pokład samolotu, a chory pacjent ma być zidentyfikowany podczas kontroli po przylocie, oznaczałoby to, że pierwsze objawy muszą się pojawić w trakcie lotu. Ponieważ średni czas pomiędzy zakażeniem wirusem a pojawieniem się pierwszych objawów jest dość długi (około tygodnia), prawdopodobieństwo zidentyfikowania zarażonej osoby jest niezwykle niskie – w najlepszym przypadku wynosi nie więcej, niż 13%. Ponieważ kontrola lotniskowa jest kosztowna, autorzy sugerują, iż te same pieniądze można by było spożytkować w lepszy sposób na terenie samej Afryki Zachodniej, pomagając zapobiec „przerażających rozmiarów” kryzysowi humanitarnemu.

Prosta matematyka

Już proste obliczenia matematyczne mogą powiedzieć wiele – należy jednak z rozwagą dokonywać wyboru liczb, na których się chcemy oprzeć. Na początku wybuchu epidemii Eboli uważano, że wpółczynnik umieralności na tę chorobę wynosi ok. 50% - wyliczono to dzieląc liczbę przypadków śmiertelnych przez ogólną liczbę zarejestrowanych zachorowań. Nie wzięto jednak pod uwagę, że ostateczny los ludzi, którz wciąż byli chorzy, nie był jeszcze znany: policzono ich jako żywych, mimo że część z nich później zmarła. To doprowadziło do zaniżenia faktycznego współczynnika umieralności.

“Ten błąd popełniano wielokrotnie i liczbę 50% często podawano w sprawozdaniach” mówi Adam Kucharski z Londyńskiej Szkoły Higieny i Medycyny Tropikalnej (London School of Hygiene and Tropical Medicine), współpracownik autorów badań naukowych dotyczących procedur kontrolnych na lotniskach. „Moi koledzy i ja próbowaliśmy skorygować ten szacunek, stosując proste metody analityczne. Według naszych obliczeń, współczynnik umieralności na gorączkę krwotoczną Ebola wynosi najprawdopodobniej ok. 70%, co potwierdziły późniejsze badania kliniczne.”

Na początku epidemii istotną liczbą jest tzw. bazowy współczynnik reprodukcji, zwykle oznaczany symbolem R₀. Współczynnik ten określa średnią liczbę osób, jakie zakażony pacjent zarazi, przy założeniu, że w całej populacji nikt nie jest odporny na chorobę. W przypadku wirusa Ebola, R₀ oszacowany zaraz po wybuchu epidemii wynosił od 1,5 do 2, co jest porównywalne z zaraźliwością pandemicznej grypy. Współczynnik R₀ odry, wysoce zaraźliwej choroby prznoszonej drogą kropelkową, wynosi aż 18.

Prosta matematyka może nam również pomóc w oszacowaniu przybliżonej szybkości rozprzestrzeniania się choroby. Jeśli R₀ danej choroby wynosi 2 i proces zarażania trwa dwa tygodnie (co w przypadku Eboli jest całkiem realnym szacunkiem), to w przeciągu tych dwóch tygodni zarażona osoba zarazi dwie inne, które w następnych dwóch tygodniach zarażą cztery osoby, i tak dalej. Zjawisko to nazywamy wzrostem wykładniczym. Postępuje on niezwykle szybko: po zaledwie 20 tygodniach chorobą zostanie zarażonych:

1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2¹⁰ = 2047 osób

Taki model jest oczywiście uproszczony. Mimo że na początku epidemii często obserwuje się wzrost wykładniczy, epidemiolodzy zazwyczaj korzystają z bardziej złożonych modeli w celu przewidywania szybkości rozprzestrzeniania się chorób (zob. Keeling, 2001, oraz Kucharski, 2011). Z łatwością możemy jednak dostrzec wagę współczynnika R₀: wykonując obliczenia podobne do powyższych dla przypadku virusa odry, odkrywamy że do zainfekowania całej ludzkości wystarczyłoby zaledwie 16 dni.

R₀ jest wielkością uśrednioną, zatem kolejną rzeczą, którą należy zrozumieć, jest sposób w jaki ta wielkość się zmienia. Dla przykładu, wyniki niedawnych badań (Yamin et al, 2015) sugerują, że nosiciele wirusa Ebola bardziej zarażają w późniejszych stadiach rozwoju choroby, tak więc umieszcznie ich w izolatkach pod koniec choroby – a nawet po śmierci, kiedy ciała są przygotowywane do pogrzebu – powinno skuteczniej zapobiegać rozprzestrzenianiu się wirusa, niż izolowanie tych samych ludzi wcześniej.

Przypadek i niepewność

Oczywiście przypadek jest jednym z ważniejszych graczy w tej grze – szczególnie na początku wybuchu epidemii. Pierwszym chorym w Sierra Leone, gdzie później zmarło kilka tysięcy ludzi, okazał się być znachor, którego pogrzeb przyciągnął tłumy ludzi. Ci, którzy dotykali zarażonego ciała, zabrali z sobą wirusa do innych miejsc.

“W sytuacjach, kiedy mówimy o bardzo małych liczbach, wystarczy jedno wydarzenie i przebieg rozprzestrzeniania się choroby może stać się zupełnie inny” mówi Adam. Także tutaj bazowy współczynnik reprodukcji R₀ odgrywa ważną rolę w przewidywaniu, co może się wydarzyć. Prawdopodobieństwo powstania epidemii można policzyć ze wzoru 1–1/R₀ (zob. Kucharski, 2011). Dla wartości R₀ między 1,5 a 2, jak to ma miejsce w przypadku Eboli, takie prawdopodobieństwo wynosi między ⅓ a ½ - czyli między 33% a 50%. Tak więc z ostatnią epidemią mieliśmy po prostu pecha.

Istnieją też inne źródła niepewności, które wpływają na wynik przewidywań przebiegu rozprzestrzeniania się chorroby oraz skuteczności podejmowanych działań interwencyjnych. W modelu może czegoś brakować albo początkowa wartość niepewności dotyczącej danego parametru, np. R₀, może wzrosnąć, w miarę jak model przewiduje coraz bardziej odległą przyszłość. Zjawisko to, nazywane efektem motyla, sprawia że wiele zjawisk, jak na przykład pogoda lub notowania giełdowe, są tak trudne do przewidzenia.

Istnieją też inne źródła niepewności, które wpływają na wynik przewidywań przebiegu rozprzestrzeniania się chorroby oraz skuteczności podejmowanych działań interwencyjnych. W modelu może czegoś brakować albo początkowa wartość niepewności dotyczącej danego parametru, np. R₀, może wzrosnąć, w miarę jak model przewiduje coraz bardziej odległą przyszłość. Zjawisko to, nazywane efektem motyla, sprawia że wiele zjawisk, jak na przykład pogoda lub notowania giełdowe, są tak trudne do przewidzenia.

Czasem jednak wyniki badań naukowych mogą być całkiem przekonujące, pomimo związanej z nimi niepewności – na przykład wyniki analizy skuteczności kontroli lotniskowych. „Wprowadzenie działań kontrolnych było raczej dezyzją polityczną, aniżeli opartą na naukowych faktach” stwierdza Adam. Każdym z nas czasem rządzi strach, jednakże w podejmowaniu działań powinniśmy się raczej kierować prognozami opartymi na starannie przygotowanych, popartych dowodami modelach matematycznych.

Podziękowania

Dłuższą wersję tego artykułu opublikowano pierwotnie na łamach Plus magazine^w1, darmowego czasopisma dostępnym online, który otwiera drzwi do świata matematyki, jej piękna i zastosowań.