Ebola w liczbach: matematyka w służbie walki z epidemią Understand article

Tłumaczenie: Karolina Śmiech. Badania nad sposobem rozprzestrzeniania się chorób zakaźnych wydają się być domeną nauk medycznych – jednakże bliższe przyglądnięcie się liczbom może nam również dostarczyć wielu informacji.

W czasie niedawnej epidemii gorączki krwotocznej Ebola na terenie Afryki Zachodniej porty lotnicze w Stanach Zjednoczonych, Wielkiej Brytanii oraz wielu krajach europejskich wprowadziły procedury poddawania ścisłej kontroli pasażerów przylatujących z krajów podwyższonego ryzyka, w tym mierzenie temperatury ciała. Tego typu procedury wydawały się być rozsąnym środkiem ostrożności – jednak najnowsze badania, oparte na zastosowaniu prostych obliczeń do przeanalizowania znanych faktów dowodzą, że nie mogły okazać się one skuteczne.

Prawdopodobieńswo, że
kontrola pasażerów po
przylocie samolotu
zapobiegnie
rozprzestrzenianiu się Eboli,
jest znikome

Zdjęcie dzięki uprzejmości
użytkownika KlausF; źródło
zdjęcia: Wikimedia Commons

Według wyników badań opublikowanych w British Medical Journal (Mabey et al, 2014), strategia poddawania pasażerów ścisłej kontroli nie będzie miała większego wpływu na przedostanie się wirusa Ebola na teren Wielkiej Brytanii.” Argumenty autorów są bardzo proste: jeśli założymy, że nikt, kto już ma objawy gorączki krwotocznej Ebola nie zostanie wpuszczony na pokład samolotu, a chory pacjent ma być zidentyfikowany podczas kontroli po przylocie, oznaczałoby to, że pierwsze objawy muszą się pojawić w trakcie lotu. Ponieważ średni czas pomiędzy zakażeniem wirusem a pojawieniem się pierwszych objawów jest dość długi (około tygodnia), prawdopodobieństwo zidentyfikowania zarażonej osoby jest niezwykle niskie – w najlepszym przypadku wynosi nie więcej, niż 13%. Ponieważ kontrola lotniskowa jest kosztowna, autorzy sugerują, iż te same pieniądze można by było spożytkować w lepszy sposób na terenie samej Afryki Zachodniej, pomagając zapobiec „przerażających rozmiarów” kryzysowi humanitarnemu.

Prosta matematyka

Już proste obliczenia matematyczne mogą powiedzieć wiele – należy jednak z rozwagą dokonywać wyboru liczb, na których się chcemy oprzeć. Na początku wybuchu epidemii Eboli uważano, że wpółczynnik umieralności na tę chorobę wynosi ok. 50% – wyliczono to dzieląc liczbę przypadków śmiertelnych przez ogólną liczbę zarejestrowanych zachorowań. Nie wzięto jednak pod uwagę, że ostateczny los ludzi, którz wciąż byli chorzy, nie był jeszcze znany: policzono ich jako żywych, mimo że część z nich później zmarła. To doprowadziło do zaniżenia faktycznego współczynnika umieralności.

Pasażer przylatujący ze
Sierra Leone jest poddawany
kontroli pod kątem zarażenia
wirusem Ebola na lotnisku
Chicago-O’Hare

Zdjęcie dzięki uprzejmości
Melissy Maraj z
amerykańskiego Urzędu
Celnego i Ochrony Granic (US
Customs and Border
Protection); źródło zdjęcia:
Wikimedia Commons

“Ten błąd popełniano wielokrotnie i liczbę 50% często podawano w sprawozdaniach” mówi Adam Kucharski z Londyńskiej Szkoły Higieny i Medycyny Tropikalnej (London School of Hygiene and Tropical Medicine), współpracownik autorów badań naukowych dotyczących procedur kontrolnych na lotniskach. „Moi koledzy i ja próbowaliśmy skorygować ten szacunek, stosując proste metody analityczne. Według naszych obliczeń, współczynnik umieralności na gorączkę krwotoczną Ebola wynosi najprawdopodobniej ok. 70%, co potwierdziły późniejsze badania kliniczne.”

Na początku epidemii istotną liczbą jest tzw. bazowy współczynnik reprodukcji, zwykle oznaczany symbolem R0. Współczynnik ten określa średnią liczbę osób, jakie zakażony pacjent zarazi, przy założeniu, że w całej populacji nikt nie jest odporny na chorobę. W przypadku wirusa Ebola, R0 oszacowany zaraz po wybuchu epidemii wynosił od 1,5 do 2, co jest porównywalne z zaraźliwością pandemicznej grypy. Współczynnik R0 odry, wysoce zaraźliwej choroby prznoszonej drogą kropelkową, wynosi aż 18.

Prosta matematyka może nam również pomóc w oszacowaniu przybliżonej szybkości rozprzestrzeniania się choroby. Jeśli R0 danej choroby wynosi 2 i proces zarażania trwa dwa tygodnie (co w przypadku Eboli jest całkiem realnym szacunkiem), to w przeciągu tych dwóch tygodni zarażona osoba zarazi dwie inne, które w następnych dwóch tygodniach zarażą cztery osoby, i tak dalej. Zjawisko to nazywamy wzrostem wykładniczym. Postępuje on niezwykle szybko: po zaledwie 20 tygodniach chorobą zostanie zarażonych:

1 + 2 + 4 + 8 + … + 210 = 2047 osób

Taki model jest oczywiście uproszczony. Mimo że na początku epidemii często obserwuje się wzrost wykładniczy, epidemiolodzy zazwyczaj korzystają z bardziej złożonych modeli w celu przewidywania szybkości rozprzestrzeniania się chorób (zob. Keeling, 2001, oraz Kucharski, 2011). Z łatwością możemy jednak dostrzec wagę współczynnika R0: wykonując obliczenia podobne do powyższych dla przypadku virusa odry, odkrywamy że do zainfekowania całej ludzkości wystarczyłoby zaledwie 16 dni.

R0 jest wielkością uśrednioną, zatem kolejną rzeczą, którą należy zrozumieć, jest sposób w jaki ta wielkość się zmienia. Dla przykładu, wyniki niedawnych badań (Yamin et al, 2015) sugerują, że nosiciele wirusa Ebola bardziej zarażają w późniejszych stadiach rozwoju choroby, tak więc umieszcznie ich w izolatkach pod koniec choroby – a nawet po śmierci, kiedy ciała są przygotowywane do pogrzebu – powinno skuteczniej zapobiegać rozprzestrzenianiu się wirusa, niż izolowanie tych samych ludzi wcześniej.

Przypadek i niepewność

Oczywiście przypadek jest jednym z ważniejszych graczy w tej grze – szczególnie na początku wybuchu epidemii. Pierwszym chorym w Sierra Leone, gdzie później zmarło kilka tysięcy ludzi, okazał się być znachor, którego pogrzeb przyciągnął tłumy ludzi. Ci, którzy dotykali zarażonego ciała, zabrali z sobą wirusa do innych miejsc.

Mikrofotografia elektronowa
cząsteczek wirusa Ebola na
powierzchni komórki

Zdjęcie dzięki uprzejmości
Narodowego Instytutu Alergii i
Chorób Zakaźnych (National
Institute of Allergy and
Infectious Diseases, NIH);
źródło zdjęcia: Flickr

“W sytuacjach, kiedy mówimy o bardzo małych liczbach, wystarczy jedno wydarzenie i przebieg rozprzestrzeniania się choroby może stać się zupełnie inny” mówi Adam. Także tutaj bazowy współczynnik reprodukcji R0 odgrywa ważną rolę w przewidywaniu, co może się wydarzyć. Prawdopodobieństwo powstania epidemii można policzyć ze wzoru 1–1/R0 (zob. Kucharski, 2011). Dla wartości R0 między 1,5 a 2, jak to ma miejsce w przypadku Eboli, takie prawdopodobieństwo wynosi między ⅓ a ½ – czyli między 33% a 50%. Tak więc z ostatnią epidemią mieliśmy po prostu pecha.

Istnieją też inne źródła niepewności, które wpływają na wynik przewidywań przebiegu rozprzestrzeniania się chorroby oraz skuteczności podejmowanych działań interwencyjnych. W modelu może czegoś brakować albo początkowa wartość niepewności dotyczącej danego parametru, np. R0, może wzrosnąć, w miarę jak model przewiduje coraz bardziej odległą przyszłość. Zjawisko to, nazywane efektem motyla, sprawia że wiele zjawisk, jak na przykład pogoda lub notowania giełdowe, są tak trudne do przewidzenia.

Istnieją też inne źródła niepewności, które wpływają na wynik przewidywań przebiegu rozprzestrzeniania się chorroby oraz skuteczności podejmowanych działań interwencyjnych. W modelu może czegoś brakować albo początkowa wartość niepewności dotyczącej danego parametru, np. R0, może wzrosnąć, w miarę jak model przewiduje coraz bardziej odległą przyszłość. Zjawisko to, nazywane efektem motyla, sprawia że wiele zjawisk, jak na przykład pogoda lub notowania giełdowe, są tak trudne do przewidzenia.

Czasem jednak wyniki badań naukowych mogą być całkiem przekonujące, pomimo związanej z nimi niepewności – na przykład wyniki analizy skuteczności kontroli lotniskowych. „Wprowadzenie działań kontrolnych było raczej dezyzją polityczną, aniżeli opartą na naukowych faktach” stwierdza Adam. Każdym z nas czasem rządzi strach, jednakże w podejmowaniu działań powinniśmy się raczej kierować prognozami opartymi na starannie przygotowanych, popartych dowodami modelach matematycznych.

Więcej o Eboli

  • Gorączka krwotoczna Ebola jest ciężką i często śmiertelną chorobą dotykającą ludzi.
  • Wirus przenosi się z dzikich zwierząt na ludzi; potem jedna osoba zaczyna zarażać inne.
  • Pierwszy znany wybuch zachorowań na Ebolę miał miejsce w odległych wioskach w środkowej Afryce, w rejonie lasów tropikalnych. Do ostatniego wybuchu doszło natomiast w Afryce Zachodniej, na terenach zarówno miejskich, jak i wiejskich.
  • Przeżywalność chorych można zwiększyć, stosując wczesne leczenie objawowe oraz terapie nawadniającą. Póki co standardowe leczenie gorączki krwotocznej Ebola nie istnieje, choć trwa opracowywanie serii metod leczniczych opartych na immunoterapii, farmakoterapii i leczeniu krwi.
  • Na razie nie istnieją żadne licencjonowanej szczepionki przeciwko Eboli, choć dwie potencjalne są aktualnie poddawane testom.

Źródło: Światowa Organizacja Zdrowia, kwiecień 2015

Podziękowania

Dłuższą wersję tego artykułu opublikowano pierwotnie na łamach Plus magazinew1, darmowego czasopisma dostępnym online, który otwiera drzwi do świata matematyki, jej piękna i zastosowań.

Download

Download this article as a PDF

References

  • Keeling M (2001) The mathematics of diseases. Plus Magazine.
  • Kucharski A (2011) Keeping track of immunity. Plus Magazine.
  • Mabey D, Flasche S, Edmunds WJ (2014) Airport screening for Ebola. British Medical Journal 349: g6202. doi: 10.1136/bmj.g6202
  • Yamin D et al (2015) Effect of Ebola progression on transmission and control in Liberia. Annals of Internal Medicine 162(1): 11–17. doi: 10.7326/M14-2255. Artykuł można bezpłatnie pobrać ze strony internetowej czasopisma, www.annals.org

Web References

  • w1 – oryginalna wersja artykułu, opublikowana w Plus Magazine, jest dostępna bezpłatnie online.

Resources

  • By dowiedzieć się więcej o Eboli zobacz:
    • Zestawienie Światowej Organizacji Zrowia.
    • Kucharski AJ, Piot P (2014) Containing Ebola virus infection in West Africa. Eurosurveillance 19(36): pii=20899. Artykuł można pobrać bezpłatnie ze strony intrnetowej czasopisma, www.eurosurveillance.org.
  • Już teraz możesz włączyć się do walki z Ebolą, pobierając darmową aplikację i przekazując wolną moc obliczeniową swojego komputera na rzecz projektu Wspólnie Przechytrzyć Ebolę (Outsmart Ebola Together). Założeniem projektu jest stworzenie witrualnego superkomputera, powstałego z połączonej mocy obliczeniowej (jeśli się uda) dziesiątków tysięcy komputerów należących do wolontariuszy, który przeskanuje miliony cząsteczek potencjalnie mogących unieszkodliwić wirusa. Najodpowiedniejsze cząsteczki mogłyby potem zostać przetestowane w laboratoriach, a następnie najprawdopodobniej zmodyfikowane w celu zwiększenia ich skuteczności. W ten sposób być może udałoby się otrzymać leki przeciwwirusowe.
  • Odwiedź stronę internetową czasopisma Plus Magazine i zapoznaj się z ćwiczeniami zgłębiającymi podstawy modeli epidemiologicznych. Ćwiczenia wykorzystują podstawy rachunku prawdopodobieństwa i mogą zostać użyte w trakcie zajęć na temat wzrostu wykładniczego i ciągów geometrycznych.
  • By dowiedzieć się więcej o rozprzestrzenianiu się chorób zakaźnych, zobacz:

Author(s)

Marianne Freiberger jest współredaktorem czasopisma Plus Magazinew1. Wraz z Rachel Thomas napisała popularną książkę pt. Numericon: A journey through the hidden lives of numbers.


Review

Nauczanie rachunku prawdopodobieństwa i statystyki nie jest łatwym zadaniem; przede wszystkim dlatego, że trudno jest znaleźć ciekawe przykłady, które miałyby istotne znaczenie w codzienym życiu uczniów. Dlatego ten artykuł może być przydatny: wirus Ebola od miesięcy jest obecny w mediach i wiele osób, nawet szkolna młodzież, jest zaniepokojonych związanymi z nim zagrożeniami.

Główną zaletą artykułu jest to, że łączy on wiedzę z zakresu nauk biologicznych i matematyki. Artukuł daje bardzo obrazowy przykład tego, jak ważne dla medycyny oraz zdrowia publicznego są wiarygodne dane, włączając w to sposób ich gromadzenia, przetwarzania i prezentowania. W artykule wspomina się również o błędach związanych z interpretowaniem wyników, co może stanowić punkt wyjściowy do dyskusji na temat właściwego i niewłaściwego korzystaniu z narzędzi statystycznych.

Na artykule można oprzeć wiele interdyscyplinarnych ćwiczeń, obejmujących np. nauki biologiczne, rachunek prawdopodobieństwa i statystykę, historię, ekonomię czy geografię. Można go też użyć do poruszenia takich tematów, jak dynamika liczebności populacji oraz skutki podróżowania we współczesnym świecie; przekazywanie chorób; wydatki publiczne na opiekę zdrowotną i pomoc społeczną; powiązania pomiędzy chorobami a gospodarką; dziennikarstwo danych, które opiera się na analizowaniu dużych zbiorów danych; czy to, w jaki sposób czytać i oceniać artykuł oparty na danych statystycznych. Wreszcie wspomniany artykuł można wykorzystać, we wprowadzeniu do modelowania, które  stanowi ważne narzędzie służące nauce. Można pokazać, w jaki sposób proces modelowania opiera się na zgromadzonych danych, bądź odwrotnie: jak dane są dopasowywane do danego modelu.

Przykładowe pytania sprawdzające zrozumienie tekstu oraz rozszerzające jego tematykę:

  1. Co należy rozumieć przez “kraje wysokiego ryzyka”? Wymień kilka państw należących do krajów wysokiego ryzyka zagrożenia wirusem Ebola.
  2. Jaki czas uływa średnio od momentu zarażenia się wirusem Ebola do wystąpienia pierwszych objawów?
  3. Co to jest “współczynnik reporodukcji” i jakie ma znaczenie?
  4. Czym jest “wzrost wykładniczy”?

Marco Nicolini, Liceo Scientifico Statale Alessandro Tassoni, Modena, Włochy




License

CC-BY-NC-ND