Paralaxe: chegando às estrelas com geometria

Olhe para fora da janela de um carro ou de um comboio em movimento e notará que a sua visão dos objetos se altera com a respetiva distância: os arbustos ou árvores próximos parecem passar a voar, enquanto uma árvore ou um edifício mais distante parecem deslocar-se muito mais devagar.

Esta aparente alteração da posição que depende da distância é chamada de paralaxe. Pode reproduzir o efeito fazendo um sinal com o polegar para cima em frente à sua cara e observando o polegar em primeiro lugar com o olho esquerdo (apenas) e depois apenas com o olho direito. Conforme altera os olhos, o seu polegar parece saltar de lado em relação às imagens de fundo – porque os seus dois olhos estão em posições ligeiramente diferentes. Agora estique o seu braço tão longe quanto este pode ir e, deslocando o polegar para mais próximo da sua cara, repita a experiência anterior: notará que a deslocação em posição aparente aumenta quando a distância entre o seu polegar e os seus olhos diminui.

Este efeito é já usado há séculos para a determinação de distâncias no espaço^w1. Em meados do século XIX, os astrónomos usaram a paralaxe para determinar as primeiras distâncias estelares. Os topógrafos também usam esta forma de medição para desenharem mapas detalhados da superfície da Terra. Presentemente, o satélite Gaia da ESA, lançado em dezembro de 2013, está a medir paralaxes precisas para mais de um bilião de estrelas na nossa galáxia, a Via Láctea, aumentando a precisão de um fator de cerca de 200.

Neste artigo, descrevemos uma atividade que explora a forma como os astrónomos usam a paralaxe para medir distâncias interestelares, determinando a distância a uma ‘estrela’ colocada na sala de aula. Existe, ainda, um curto artigo na web sobre a história de medições de paralaxe, que pode descarregar da secção de material adicional^w1.

A atividade aqui descrita reproduz a geometria básica das medições de paralaxe, usando aparelhos simples para a medição de ângulos. Utilizámos esta atividade com sucesso, que leva de 30 a 45  minutos incluindo montagem, com estudantes de idades entre 13 e 17 anos. No próximo número do Science in School, vamos descrever um método fotográfico para efetivar medições de paralaxe que é ainda mais preciso e astronomicamente realista.

Atividade: a geometria da paralaxe

Para esta atividade, vai precisar de um instrumento para medir ângulos entre linhas-de-visão – um teodolito (ver figura 1), se existir um entre o equipamento de Matemática, Física ou Geografia da escola. Caso contrário, damos aqui instruções em como construir um aparelho de medições de ângulos semelhante, a partir de materiais facilmente disponíveis.

Material

• Dois teodolitos
• Pequena esfera ou LED como ‘estrela’
• Fita métrica

Se não tiver acesso a teodolitos pode improvisar construindo os aparelhos simples apresentados na figura 2. Para cada um (serão precisos dois) vai precisar de:

• Folha de papel
• Cartolina com cerca de 4 cm x 8 cm
• Pequeno bloco de madeira, com cerca de 1 cm x 3 cm x 8 cm
• Mesa ou outra superfície horizontal

Procedimento

A montagem básica pode ser vista na figura 3. Para simplificar, fazemos todas as medições angulares no plano definido pelos pontos A, B e C, que deve ser paralelo ao chão.

Montagem

1. Dividir a sala em duas partes marcando uma linha no chão, como indicado pela linha a tracejado. A parte do lado direito da sala com os dois teodolitos (ou, em alternativa, com os dois aparelhos improvisados) representa a Terra, enquanto a parte do lado esquerdo da sala representa o espaço.
2. Coloque a ‘estrela’ na região do espaço (posição A na figura 3). Para a estrela pode usar um LED, um ornamento de Natal, uma bola de ping-pong ou outra pequena esfera. Coloque a estrela como conseguir – recorrendo a um tripé, num cabo de vassoura, num porta-guarda-chuva ou pendurada do teto.

Siga os passos para a montagem que se seguem, se estiver a utilizar teodolitos:

3. Monte os dois teodolitos, cada um no seu tripé, na região da Terra. Vai ser necessário ajustar a mesa de suporte de cada um, de forma a esta ficar completamente horizontal (use um nível de bolha, se existir).
4. Ajuste o ângulo de declinação (lido na escala semicircular branca da figura 1) para zero. Isto mantém as linhas-de-visão (através das miras da figura 1) no plano horizontal, onde vamos fazer todas as medições de ângulos e comprimentos.
5. Ajuste a altura do teodolito à da estrela. Pode fazer isto elevando as pernas telescópicas em tripé do teodolito. Com a estrela a alguma distância do teodolito, observe através das miras e ajuste o tripé até que a estrela fique diretamente numa linha-de-visão. Provavelmente terá de voltar a ajustar a mesa rotativa de forma a garantir que ainda se mantém horizontal.

Alternativamente, se não estiver a usar teodolitos, siga os seguintes passos para contruir os aparelhos improvisados:

3. Cole uma folha de papel em cada uma das mesas ou superfícies planas de observação de forma a criar duas plataformas de observação correspondentes às posições do teodolito B e C da figura 3.
4. Faça a mira (a reta por onde se olha) colando rigidamente o pedaço de cartão ao bordo do bloco de madeira, como mostrado na figura 2.
5. Ajuste a altura da sua estrela (posição A na figura 3) de forma a estar, exatamente, à mesma altura acima do solo das duas miras. Depois, de cada uma das suas duas posições, deve ser capaz de ajustar a posição das miras de tal forma a poder olhar ao longo do cartão, exatamente de lado, em linha reta até à estrela.

Fazendo as medições

A sua tarefa agora é determinar a distância entre o seu ponto de observação e a estrela, fazendo todas as suas medições apenas na Terra. É claro que não pode simplesmente usar a fita métrica e esticá-la de B a A, uma vez que isso significaria deixar a Terra. Nós não conseguimos medir as distâncias a objetos astronómicos fora do nosso Sistema Solar voando até lá.

Em vez disso, vamos medir dois ângulos e o comprimento de um lado do triângulo ABC e a geometria vai-nos ajudar a descobrir o comprimento dos outros dois lados, AB e AC. Com o teodolito na posição B, podemos medir o ângulo ABC como segue:

1. Aponte a mira do teodolito B na direção do teodolito C. Leia o ângulo de azimute do respetivo disco (a escala preta na mesa rotativa da figura 1). Isto funciona melhor se ambos os teodolitos estiverem apontados um para o outro ao mesmo tempo.
2. Depois, aponte a mira do teodolito B na direção da estrela em A. Mais uma vez, leia o valor do ângulo de azimute.
3. Subtraia um dos valores de azimute pelo outro. Isto dá o valor do ângulo ABC.
4. Repita o procedimento com o teodolito na posição C, de modo a obter o ângulo ACB.
5. Finalmente, meça a distância entre os pontos B e C ao longo da linha-de-base, usando fita métrica.

Com os aparelhos improvisados, as mesmas medições angulares podem ser feitas como segue, em primeiro para o aparelho em B:

1. Desenhe um ponto na folha de papel. Este será a referência.
2. Coloque a mira de forma à parte baixa do cartão tocar no ponto de referência e a parte superior (ao longo da qual está a olhar) apontar diretamente ao outro aparelho, colocado em C. (Isto funciona melhor se os dois aparelhos estiverem apontados um para o outro ao mesmo tempo, com as partes superiores dos cartões de mira alinhados um com o outro.)
3.  Marque a posição da mira traçando uma reta no papel (como se mostra na figura 2).
4. Repita o procedimento, olhando agora com o aparelho B a estrela em A, mais uma vez visualizando através da parte superior do cartão enquanto a inferior toca no ponto de referência e traçando um reta ao longo da aresta inferior.
5. Use um transferidor para medir o ângulo entre as duas retas que desenhou. Este é o ângulo ABC.
6. Repita o procedimento, utilizando o aparelho em C, olhando para B e para A à vez e desenhando as linhas-de-visão. Estas vão dar o ângulo ACB.
7. Finalmente, meça a distância entre os pontos B e C ao longo da linha-de-base utilizando a fita métrica.

Descobrindo a distância da estrela

Agora sabe os ângulos de visão da estrela de duas posições diferentes da Terra e ainda a distância entre estas posições. Assim, como utilizamos estes resultados para determinar a distância à estrela? Primeiro, repare na geometria da situação, mostrada na figura 4.

Nesta disposição a posição A da estrela e as posições B e C do teodolito estão todas no mesmo plano horizontal e formam o triângulo ABC (diretamente visto de cima). Os ângulos b e g são os valores medidos dos ângulos ABC e ACB, respetivamente, e o comprimento b é a distância medida ao longo da linha-de-base entre B e C.

Utilizando as suas próprias medições, desenhe um diagrama em escala de um triângulo como este tão preciso quanto possível: uma escala de 1:50 numa folha A3 dá bons resultados. Depois, pode simplesmente medir as distâncias AB e AC do diagrama e convertê-las em distâncias reais de forma a determinar as distâncias B e C para a estrela A.

De forma a verificar os seus resultados, infrinja as regras! Viaje pelo ‘espaço’ e use a fita métrica para medir AB e BC.

Finalmente, discuta a precisão dos resultados obtidos com a medição de ângulos. Se tivessemos usado distâncias maiores como se alteraria esta precisão? e porquê?

Medições no espaço

Esperamos que os alunos gozem da sensação de descoberta a partir desta atividade e que fiquem com alguma ideia da forma como as medições de distâncias são feitas em Astronomia^w1. É claro que os procedimentos astronómicos reais utilizam métodos elaborados de forma a garantir a máxima precisão possível, já que as estrelas estão muito longe e os seus desvios de paralaxe são tão minúsculos. Mesmo o nosso mais próximo vizinho estelar fora do Sistema Solar (Proxima Centauri) está cerca de 100 000 vezes mais longe do que a mais longa distância que pode ser medida com uma linha-de-base a partir da Terra, isto é, duas vezes a distância entre a Terra e o Sol, se recolhermos imagens separadas de meio ano. Isto é como tentar detetar o desvio em paralaxe de um objeto a 100 quilómetros quando nos deslocamos um metro para o lado.