Crescita esponenziale 2: lezione sulla vita reale dalla pandemia da COVID-19 Teach article

Author(s): Wolfgang Vieser
Translator(s): Rocco G. Maltese

La pandemia del COVID-19 ha posto l'accento sul fenomeno della crescita esponenziale. Questo fornisce l'opportunità di insegnare questo concetto complicato nel contesto di un fenomeno reale.

La diffusione estremamente rapida del virus del COVID-19 non è così sorprendente come si potrebbe pensare a prima vista. È una conseguenza della crescita esponenziale nella propagazione del virus, che è difficile da afferrare intuitivamente.

Le attività descritte qui di seguito sono state concepite per studenti di età dai 14-16 anni e possono essere completate in 45 minuti.

Se un approccio più semplice potrebbe essere maggiormente adatto alla vostra classe, potete utilizzare l’articolo per studenti di età 11-13 anni he accompagna questo, Exponential growth 1: learn the basics from confetti to understand pandemics. Quest’articolo include anche un breve confronto con la crescita lineare.

Nel corso di queste attività, gli studenti impareranno differenti tipi di crescite esponenziali e di come classificarle utilizzando il fattore R. Nel contesto della pandemia di COVID-19, identificheranno come la crescita può rallentare ed utilizzeranno una simulazione per esplorare quali azioni condizionano il corso della pandemia.

I calcoli per le tavole possono essere semplificati utilizzando una calcolatrice oppure il foglio Excel. Tavole e sistemi di coordinate per il completamento sono sul foglio di lavoro.

Attività 1 – L’invenzione degli scacchi

Una leggenda sull’invenzione degli scacchi rivela quanto velocemente i numeri possano salire alle stelle per la crescita esponenziale. Si racconta che il re Indiano Shihram, che si suppone sia vissuto nel terzo o quarto secolo DC tiranneggiando il suo popolo, aveva spinto la sua nazione in miseria. Per portare alla attenzione del re le sue colpe senza suscitarne la sua ira, il gran visir Sissa ben Dahir inventò un gioco nel quale il re, il pezzo più importante, non poteva fare nulla senza l’aiuto di altri pezzi. L’insegnamento degli scacchi suscitò una grande impressione su Shihram. Egli si addolcì e pubblicizzò in lungo e in largo il gioco degli scacchi. A ringraziamento della bella lezione e del divertimento, concesse al gran visir di esaudire un desiderio, il quale chiese solamente:

“Un chicco di riso, che rappresentava il primo quadrato della scacchiera. Due chicchi per il secondo quadrato. Quattro chicchi per il successivo. Quindi per l’ottavo, 16, 32 raddoppiando per ogni successivo quadrato sino al 64esimo e ultimo quadrato.”

Il re fu impressionato dalla apparente modesta richiesta, e immediatamente esaudì la richiesta. Perché commise un così enorme errore?

Materiali

Il foglio di lavoro di accompagnamento
Una calcolatrice

Procedimento

Chiedete agli studenti se pensano che il gran visir fosse realmente così modesto, oppure quanti chicchi di riso ci sarebbero stati sul 64esimo quadrato di una scacchiera. La tabella sul foglio di lavoro può aiutare.
Fate sì che trovino una regola comune per calcolare il numero di chicchi di riso sull’ x-esimo quadrato. La tabella dovrebbe assomigliare alla seguente:

Tabella con il Quadrato, Numero di chicchi di riso su quel quadrato e Calcoli

Discussione

Permettete agli studenti di leggere le informazioni base sul foglio di lavoro circa il raccolto annuale medio di riso e di discutere sulla quantità di riso che il gran visir ha richiesto.

L’incremento del numero di chicchi di riso da un quadrato al successivo non è costante, come succede in una crescita lineare, ma aumenta a seconda del numero di chicchi di riso sul precedente quadrato. Se l’aumento dipende dalla quantità attuale e perciò non è costante, si parla di crescita esponenziale. Se la quantità considerata è piccola, anche l’aumento sarà piccolo, conseguentemente la quantità crescerà lentamente. Tuttavia, la quantità aumenta di continuo, e altrettanto crescerà l’aumento, che così può diventare molto grande molto velocemente.

Attività 2 – Malattie infettive

In una malattia infettiva, il numero di nuove persone infettate può crescere così rapidamente come la quantità di riso sui quadrati della scacchiera dell’Attività 1. La diffusione della malattia infettiva spesso segue un medesimo modello, che può essere descritto solo con alcuni parametri.

Materiali

Il foglio di lavoro di accompagnamento
Una calcolatrice
Un computer, o un tablet o uno smartphone dotato di browser Internet e foglio elettronico

Parte 1: Diffusione del COVID-19 senza misure protettive

Gli studenti leggono le informazioni di base sul loro foglio di lavoro per il calcolo dei valori R₀ e D per l’infezione del COVID-19.
Chiedete agli studenti di completare la tabella del foglio elettronico per tracciare l’andamento della diffusione del COVID-19 e ricavare una formula per calcolare il nuovo numero di persone infette nell’istante x. Dovrebbe assomigliare alla seguente:

Tabella con il numero di Giorni e Numero di nuovi infetti

Gli studenti dovranno disegnare un grafico utilizzando il foglio elettronico di loro scelta o utilizzare il foglio elettronico Excel fornito. Dovrebbe essere come questo:

Grafico di nuovi infetti in funzione del tempo in giorni, presenta una crescita esponenziale — *Immagine fornita cortesemente da Wolfgang Viesier*

Gli studenti dovranno determinare dal grafico in quanto tempo il numero di nuove persone infettate si raddoppia. In quanto tempo le iniziali 4 (→16→64) persone diventano 8 (→32→128) nuove persone infettate? Il tempo in cui si raddoppiano dovrebbe essere di 2.5 giorni.
Determinare assieme agli studenti l’esatto valore in cui si raddoppia il numero di nuove persone infettate. Può assomigliare al seguente:

In quanto tempo x, il numero di nuovi infetti raddoppia a partire del valore iniziale uno a due? La corrispondente equazione per risolverlo è 4^(x/5) = 2.
Domandare agli studenti quale numero devono usare per elevare il quattro per ottenere due. Alternativamente, potreste domandare quale operazione matematica si deve usare per ottenere due da quattro (né per sottrazione né per divisione). La risposta dovrebbe essere la radice quadrata di quattro per ottenere due o elevare quattro alla potenza di 0.5.
Così la precedente equazione diventa x/5 = 0.5
Perciò x=2.5 così il tempo di raddoppiamento è 2.5 giorni.

Let the students guess how many newly infected people to expect on day 50 and then have them calculate the value. There should be just over 1 million people newly infected on day 50 if no protective measures are taken.

Discussione

Per ricavare l’esatto tempo di raddoppio per il caso discusso sopra, era possibile usare la radice quadrata solamente a causa della base speciale, quattro. Chiedere agli studenti come ricavare il tempo di raddoppio in forma più generale.

Nel caso generale, si deve ricorrere al logaritmo. Se gli studenti non sono ancora familiari con il concetto di logaritmo potrete introdurlo a loro come segue.

Importante informazione di base: proprio come la radice quadrata si utilizza per risolvere l’equazione x×x = 2, la cui soluzione è x = ± √2 ~ 1.414, la notazione simbolica è usata per risolvere l’equazione 2^x = 6, che è x = log₂6 (logaritmo in base 2 di 6). Il valore numerico si ricava con l’aiuto della calcolatrice tascabile: log₂6 ~ 2.585.

Il valore esatto del tempo di raddoppio T_1/2 , si può ricavare come segue:

In generale: T_1/2= D × log_R2

Parte 2: Contenimento della pandemia da COVID-19

Lasciate che gli studenti discutano in gruppo su quale valore, R₀ o D, potrebbe essere modificato da una azione di contenimento (escluse vaccinazioni e farmaci) e quali potrebbero essere tali azioni. Dovrebbe essere chiaro che D non è influenzato, eccetto che da una variazione di R₀attraverso l’adozione di misure specifiche (distanziamento, mascherine chirurgiche) che potrebbero ridurre la diffusione del virus. Questo è espresso dal “numero reale di contagio”, R.
Disquisite con i vostri studenti sul valore di R richiesto affinché il numero di nuove persone infettate non cresca, per esempio una persona può infettare al massimo un’ altra persona. Il valore di R dovrebbe essere al massimo uno.
Fate leggere agli studenti le informazioni di base per il loro foglio di lavoro in merito alla connessione tra R₀ e R e quindi utilizzare l’applet Geogebra (https://www.geogebra.org/m/qavutkx5) per simulare scenari differenti di contenimento di COVID-19. L’applet Geogebra dovrebbe assomigliare a:

Un grafico che mostra come il numero di nuovi infetti varia col tempo quando si introducono misure di contenimento. — *Immagine fornita cortesemente da Wolfgang Vieser, © International GeoGebra Institute, 2013*

Gli studenti dovrebbero affrontare le seguenti domande:

Come la velocità di attuazione delle misure di contenimento cambiano l’andamento del grafico?
Come le seguenti misure di contenimento condizionano il tempo di raddoppio se poste in essere sin dall’inizio?
- Solo distanziamento fisico con il 50% di efficienza
- Distanziamento fisico più uso delle mascherine con il 50% di efficienza

Gli studenti devono calcolare il tempo di raddoppio per questi due casi utilizzando la formula generale del tempo di raddoppio. I risultati dovrebbero essere i seguenti:

Solamente distanza fisica T_1/2= 5 x log₂2 (il doppio di quello senza misura di contenimento)
Entrambe le misure: T_1/2= 5 x log₁2 = ∞ (la diffusione è contenuta)

Parte 3: propagazione del COVID-19 in uno scenario più realistico – immunità di gregge

Gli studenti dovranno discutere quali misure ulteriori potrebbero aiutare per ridurre la diffusione. Dovrebbe emergere che il numero di persone che sono immuni (a causa della vaccinazione od il ristabilimento dalla malattia) potrebbero variare il valore R.

Gli studenti dovranno leggere le informazioni di base riportate sul loro foglio di lavoro per stabilire come varia il valore R con l’immunizzazione. Saranno in grado di calcolare la percentuale della popolazione che necessita l’immunizzazione affinché si contenga la diffusione, per esempio, ridurre il reale valore di R ad uno. Il risultato dovrebbe essere il 75%.

Discussione

Confrontate la percentuale della popolazione che necessita di essere immunizzata per raggiungere l’immunità di gregge per il COVID-19 (R₀ = 4) rispetto al morbillo (R₀ = 15) e la poliomielite (R₀= 6) e discutete con loro sulla sfida posta dalla campagna di vaccinazione associate. I risultati sono del 75% (COVID-19, 93% (morbillo), e 83% (polio).

Resources

Guardate il video come piegando ripetutamente un foglio di carta potrebbe portarvi sulla luna.
Cercate il concetto di immunità di gregge dimostrato utilizzando le trappole per topi.

Institutions

Author(s)

Wolfang Vieser è un astrofisico che ha lavorato per 14 anni come insegnante di fisica e matematica in una scuola secondaria. Adesso lavora per l’ESO come Coordinatore Educativo ed è responsabile per il programma educativo dell’ ESO Supernova.