Salviamo la Terra nello stile di Hollywood

Gli studenti cosa preferirebbero discutere: i film di Hollywood o la fisica? Durante le mie lezioni di fisica, cerco di combinare questi due argomenti sfruttando gli scenari dei film d fantascienza di Hollywood come una fonte di esercizi indirizzati al problem-solving – in un modo simile all’utilizzazione delle avventure dei personaggi dei personaggi (vedi Follows, 2017). Anche se gli studenti non hanno visti i films, sembra che si divertino sfruttando la loro inventiva nello scenario fantastico, che possono utilizzare come base per fare scienza reale – sempre che le idee e le ipotesi siano posti a loro in modo chiaro.

In questo articolo, presento alcuni esercizi che si basano sul film ‘Armageddon’ (1988) – un film di Hollywood su un’eroica missione per salvare la Terra dalla minaccia di un gigantesco asteroide diretto verso la Terra. Il film fu criticato per essere piuttosto irreale, ma comunque offre una interessante sceneggiatura da utilizzare come base per applicare alcuni calcoli.

Armageddon: la storia

Nel film, gli astronomi individuano un asteroide delle dimensioni del Texas con un orbita diretta esattamente verso la  Terra avrebbe impiegato esattamente 18 giorni prima dell’impatto. Si stava preparando un piano di far scoppiare una testata nucleare proprio sulla superficie dell’asteroide, con lo scopo di dividere in due che avrebbero dovuto separarsi allontanandosi dalla traiettoria – evitando la Terra. Per mettere in azione questo piano, la NASA aveva imbarcato un estrattore di petrolio Harry Stamper  (Bruce Willis) con il suo team, su due navicelle spaziali, che avrebbero compiuto un’orbita di accelerazione attorno alla Luna e ritrovarsi così dietro l’asteroide. Una volta raggiunto l’asteroide, per contrastare il disastro avrebbero dovuto far esplodere la bomba prima che l’asteroide raggiungesse la ‘barriera nulla’, un punto che distava otto ore dopo aver oltrepassato la Luna.

Creazione dell’attività per la classe

Gli studenti avrebbero effettuato una serie di calcoli che si incentravano sulle informazioni fornite dal film, con il complemento di una certa dose di ragionevoli ipotesi. Il divertimento si basa sulla verifica se i dati forniti dal film avevano un certo fondamento scientifico – oppure no.

Dal film, sappiamo che:

• L’asteroide ha le dimensioni del Texas. Assumiamo di riferirci alla sezione principale dell’asteroide approssimativamente sferico.
• L’asteroide si sta dirigendo verso la Terra alla velocità di 22 000 miglia l’ora (35405.54 Km/h).
• Le due sezioni in cui si divide l’asteroide evitano la Terra per circa 400 miglia (640 km).

Le altre informazioni di cui disponiamo sono elencate qui di seguito:

• Il Texas ha un’area di 692 200 km2.
• La densità media dei quattro più grandi asteroidi noti è di 2760 kg m-3. (In confronto, la Terra ha una densità di 5520 kg m-3.)
• La distanza tra la Terra e la Luna è di 384 400  km.
• La Terra ha un raggio di 6400 km.
• L’energia di una testata nucleare è di oltre 50 megatoni di TNT. (Questa è l’energia della più potente arma termonucleare conosciuta: la Testata Sovietica chiamata Big Ivan)
• 1 megatone di TNT è 4.18 x 1015 J

Assumiamo inoltre che:

• L’asteroide sia diretto al Centro della Terra, così che entrambe le due parti in cui si dovrebbe dividere l’asteroide, si dovrebbero allontanare in direzioni opposte e alla stessa distanza.

Domande per gli studenti e calcoli effettuati

Agli studenti è chiesto di verificare se questo piano plausibilmente può salvare la Terra evitando la collisione. Gli studenti si appresteranno ad eseguire una serie di calcoli, come quelli indicati qui di seguito. Gli studenti possono lavorare in gruppi, e sono incoraggiati a discuterne tra loro.

1. Dimostrare che l’asteroide ha un raggio di 470.8 km.

Assumeremo che se la sezione è approssimativamente circolare l’asteroide ha un'area A uguale a quella del Texas, cioè circa 696 200 km².

A = dove r= raggio dell’asteriode. Così:

2. A che velocità, espressa in unità del sistema metrico decimale (cioè in ms-1) viaggia l’asteroide?

Incoraggiate gli studenti ad eseguire trasformazioni delle unità di misura in maniera formale:

3. A che distanza dalla Terra si trova la ‘barriera zero’?

Per rispondere a questa domanda, per primo abbiamo bisogno di ricavare la distanza che il meteorite percorrerebbe in otto ore, fissiamo la ‘barriera zero’ a questa distanza, cioè quella percorsa dall'asteroide in otto ore, partendo dalla Luna:

Distanza = velocità x tempo

= 9833 m s^-1 x 8 x 3600 s 

= 2.83 x 10⁸ m

Quindi, sottraendo questo valore alla distanza totale Terra-Luna (3.84 x 10⁸ m) calcoliamo la distanza che l’asteroide dovrebbe ancora viaggiare per entrare in collisione con la Terra.

3.84 x 10⁸ m - 2.83 x 10⁸ m

= 1.01 x 10⁸ m

4. A che velocità si devono allontanare le due parti in cui si è diviso l’asteroide per evitare l’impatto con la Terra?

Le due metà dell’asteroide dovrebbero allontanarsi di 1.01x108 m dalla ‘barriera zero’ per raggiungere la Terra. Nel tempo necessario a percorrere questa distanza, ogni sezione dell’asteroide dovrà allontanarsi perpendicolarmente alla direzione originale di moto dell’asteroide, ad una distanza sufficiente da non colpire la Terra passando ad almeno 640 km da ogni lato (vedi figura1)

Qui:

D = distanza tra la Terra e la ‘barriera zero’

R = raggio della Terra più i 640 km da cui ogni metà asteroide si deve tenere distante dalla Terra

v₁ = velocità alla quale si muove l’asteroide in direzione della Terra.    

v₂ =Velocità perpendicolare (laterale) di ciascuna parte dell’asteroide affinché non colpisca la Terra con un margine di 640 km

Metodo 1

Per primo, calcoliamo quanto tempo dovrebbe impiegare l’asteroide per raggiungere la barriera zero in prossimità della Terra:

Possiamo calcolarci adesso la velocità alla quale ciascuna parte dell’asteroide dovrebbe muoversi in direzione perpendicolare al percorso originale affinché manchino la Terra con margine di 640 km.

Metodo 2

Per quei studenti che hanno una maggior praticità con la matematica, possiamo impegnarli di conseguenza. Come nel metodo precedente, nel tempo t che l’asteroide impiega a compiere una distanza di 101 000 km in direzione della Terra, i due pezzi devono spostarsi lateralmente per una distanza equivalente al raggio della Terra più 640 km, R. Utilizzando un pò di algebra:

5. Qual’è la massa dell’asteroide (assumendo che abbia una densità tipica di un asteroide)?

La massa m è uguale a densità r moltiplicato il volume V, così m = ρ x V

L’asteroide è approsimativammente sferico, così V = ⁴ ⁄ ₃ π R³

Dalla domanda 1, R = 470.8 km

Così M = ρπR³

= 2760 kg m^-3 x ⁴/₃ π x (4.71 x 10⁵ m)³

= 1.21 x 10²¹ kg

6. Quanta energia cinetica dobbiamo fornire alle due semisfere dell’asteroide affinché si eviti la collisione con la Terra?

Nota: si deve ottenere la stessa risposta se si tratta l’asteroide intero o costituito dalle due semisfere separate.

E = ¹/₂ mv² 

= ¹/₂ x 1.2 x 10²¹ kg x (685 m s^-1)²

= 2.84 x 10²⁶ J

7. Quante testate nucleari delle stesse dimensioni di Big Ivan sono necessarie per ottenere questa energia?

Una testata Big Ivan è equivalente a 50 megatoni di TNT= 50 x 4.18 x 10¹⁵ J 

= 2.09 x 10¹⁷ J 

Così l’energia necessaria per far cambiare la traiettoria all’asteroide e mancare la collisione con la Terra è equivalente a:

8. A che velocità si separeranno le due semisfere dell’asteroide se si usasse una sola testata del tipo del Big Ivan?

9. Di quanto si allontanano  le due calotte quando collideranno con la Terra, se venisse usata solo una testata del tipo Big Ivan?

Abbiamo già dimostrato (nella domanda 4) che l’asteroide dalla barriera zero si trova a meno di tre ore dall’impatto. Alla velocità di 1.85 x 10² m s^-1 in quel tempo ciascuna delle due semiparti dell’asteroide si allontaneranno di 190 m dal percorso principale, così le due metà si muoveranno allontanandosi l’una dall’altra di meno 400 m – troppo poco per evitare la collisione con la Terra. Infatti, nelle condizioni descritte nel film, la squadra avrebbe bisogno di intercettare l’asteroide quando si trova a circa 3.74 x 10¹² km – 25 volte la distanza Terra Sole, e nello spazio la distanza tra Urano e Nettuno. 

A volte si dimostra che si ha bisogno di qualcosa anche più grande di una esplosione nucleare affinché si eviti la collisione.    

Discussione

Vi sono molte cose di cui discutere con gli studenti, dopo aver fatto o assieme ai calcoli. Gli studenti potranno avere le loro opinioni per rendere gli scenari più realistici – o su quali eventi o assunzioni sono i più assurdi. Per esempio, perché gli scienziati fallirebbero di centrare l’asteroide a meno che non sia più vicino? E nonostante questo fallimento, come hanno fatto a capire che aveva attraversato una faglia, esattamente lungo la direzione della traiettoria? 

Qui di seguito alcuni suggerimento e altri punti da considerare:    

• I calcoli non includono l’energia richiesta per romper il legame chimico per dividere l’asteroide nelle due parti: includono solo l’energia richiesta a separare le due metà, assumendo che l’asteroide fosse già convenientemente fratturato. Se sommiamo l’energia per fratturare l’asteroide, di quanto variano i calcoli?
• Se l’asteroide dovesse colpire la Terra, quale dovrebbe essere l’energia dell’urto? Gli studenti possono ricavarla dall’energia cinetica dell’asteroide. Troveranno che l’urto con la Terra dovrebbe rilasciare 5.8 x 10²⁸ J – equivalente a 276 miliardi (2.76 x 10¹¹) Big Ivan. In confronto, l’asteroide che ha provocato la distruzione del Cretaceo (e l’estinzione dei dinosauri) 65 milioni di anni fa aveva rilasciato solamente 4 x 10²³ (2 milioni di Big Ivan).
• Gli studenti possono osservare gli oggetti della vita reale che potrebbero dirigersi sulla Terra, e ricavare quanto quello di Armaggeddon è simile a questi asteroidi. Alla velocità di 9833 m s^-1, la sua velocità è più lento della media degli asteroidi, che hanno una velocità di circa 25 000 m s^-1. (In confronto, la cometa di Halley ha una velocità di 53 600 m s^-1 quando viene a trovarsi più vicino al Sole, al suo perielio). Il programma di ricerca della NASA il NEO^w1 (oggetti in prossimità della Terra) serve a tracciare la traiettoria di quegli oggetti che potrebbero scontrarsi con la Terra: uno di questi è l’asteroide (29075) 1950 DA, che ha un diametro di circa 1 km. C’é la probabilità di 1 su 300 di scontrarsi con la Terra nel 2880.