Θεμελιώδεις αρχές στην τάξη: μετρώντας την σταθερά του Planck Teach article

Μετάφραση από την Αιμιλία Ξανθοπούλου (Emily Xanthopoulos). Φέρτε την εξερεύνηση στην τάξη και δείξτε στους μαθητές πως να υπολογίζουν την σταθερά του Planck…

Όταν σκεφτόμαστε τον υπολογισμό των θεμελιωδών φυσικών σταθερών, όπως της ταχύτητας του φωτός η της δύναμης της βαρύτητας, σκεφτόμαστε πιθανόν τα διάσημα, μεγάλης κλίμακας πειράματα – αλλά και ο εξοπλισμός της τάξης μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό αυτών των αναλλοίωτων αξιών.

Η σταθερά του Planck μπορεί να φαίνεται σαν μια μάλλον πιο εξειδικευμένη έννοια σε αντίθεση, ας πούμε, με την ταχύτητα του φωτός, αλλά παίζει έναν απολύτως κεντρικό ρόλο στο να κατανοήσουμε την συμπεριφορά της ύλης στο υποατομικό επίπεδο. Είναι ένας ακρογωνιαίος λίθος της θεωρίας της κβαντομηχανικής, που περιγράφει την ασυνήθιστη συμπεριφορά των σωματιδίων σε αυτό το επίπεδο. Εδώ η ενέργεια, όπως και η ύλη, αποτελείται από σωματίδια. Το φως και άλλη ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία^w1, παραδείγματος χάριν, αποτελείται από σωματίδια που ονομάζονται φωτόνια.

Παίρνοντας το όνομα της από τον Γερμανό φυσικό Max Karl Planck (1858–1947), η σταθερά του Planck μας δείχνει πως η ενέργεια των μεμονωμένων φωτονίων σχετίζεται με το μήκος κύματος της ακτινοβολίας τους, όπως φαίνεται και από αυτή εδώ την σημαντική εξίσωση:

E_p = hc/λ

Όπου E_p είναι η ενέργεια ενός φωτονίου (σε joules), h h είναι η σταθερά του Planck, c είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό, και λ είναι το μήκος κύματος της ακτινοβολίας.

Ίσως προκαλεί έκπληξη το ότι παρόλο που η τιμή της σταθεράς του Planck είναι εξαιρετικά μικρή, έχουμε αναπτύξει μια μέθοδο προσδιορισμού της με ένα πείραμα στην τάξη. Η δραστηριότητα δεν απαιτεί κανέναν ιδιαίτερο εξοπλισμό – μόνο μερικές χρωματιστές διόδους εκπομπής φωτός (LEDs) και έναν τυπικό ηλεκτρικό εξοπλισμό. Αυτή η δραστηριότητα είναι κατάλληλη για ένα ευρύ φάσμα μαθητών, από την ηλικία των 16 και μέχρι το μεταπτυχιακό επίπεδο.

Πως λειτουργούν τα LEDs

Τα LEDs παράγονται από την ένωση δύο ‘ντοπαρισμένων’ ημιαγωγών, από τους οποίους ο ένας έχει πλεονάζοντα ηλεκτρόνια (τύπου n) και ο άλλος έχει έλλειψη ηλεκτρονίων – που επίσης ορίζονται και ως οπές (τύπου p). Όταν το ηλεκτρικό ρεύμα περνά μέσα από τον ονομαζόμενο ‘p-n’ κόμβο, η αναδιάταξη των ηλεκτρονίων και των οπών απελευθερώνει ενέργεια με την μορφή φωτονίων.

Το χρώμα του φωτός που εκπέμπεται από ένα LED καθορίζεται από την ενέργεια των φωτονίων, και μπορεί να προσαρμοστεί αλλάζοντας την χημική σύνθεση των ημιαγώγιμων υλικών. Τα LEDs κατασκευάζονται συνήθως από κράματα γαλλίου, αρσενικού και αλουμινίου, και η αλλαγή της αναλογίας αυτών των συστατικών μπορεί να παράγει LEDs που εκπέμπουν σε συγκεκριμένα χρώματα – όπως το κόκκινο και πράσινο στην ορατή περιοχή του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος, η και περαιτέρω μέσα στις υπεριώδεις και υπέρυθρες περιοχές.

Όπως με κάθε φως, το μήκος κύματος είναι αυτό που καθορίζει το χρώμα του. Το ανθρώπινο μάτι είναι ευαίσθητο στο φως με μήκη κύματος από 390 ως 900 νανόμετρα (0.00039–0.0007 χιλιοστά). Βλέπουμε τα πιο μικρά μήκη κύματος ως ιώδη και τα πιο μεγάλα ως ερυθρά, και κάθε ένα στο ενδιάμεσο αντιστοιχεί σε ένα ιδιαίτερο χρώμα στο φάσμα. Παραδείγματος χάριν, τα LEDs που εκπέμπουν στο πράσινο τυπικά παράγουν φως με μήκος κύματος περίπου στα 567 νανόμετρα.

Χρησιμοποιούμε LEDs σε αυτό το πείραμα γιατί κάθε χρώμα του LED έχει ένα διαφορετικό κατώφλι τάσης στο οποίο αρχίζουν να παράγονται ηλεκτρόνια. Η μέτρηση αυτής της τάσης, μαζί με γνωστές τιμές για τα μήκη κύματος εκπομπής, παρέχει ένα μονοπάτι για να βρούμε την τιμή της σταθεράς του Planck.

Υλικά

• Τέσσερα LEDs που εκπέμπουν χρωματιστό φως – ένα κόκκινο, ένα πορτοκαλί, ένα πράσινο και ένα μπλε. Διαλέξτε LEDs με ένα διαφανές, άχρωμο περίβλημα, έτσι ώστε το χρώμα του φωτός να προέρχεται από την ίδια την συσκευή, και όχι από το χρωματιστό περίβλημα.
• 9 βολτ μπαταρία.
• Δύο πολύμετρα (ένα για να χρησιμοποιηθεί ως βολτόμετρο και το άλλο ως αμπερόμετρο).
• 1 kΩ ποτενσιόμετρο η ροοστάτης.

Διαδικασία

1. Στήστε το κύκλωμα όπως φαίνεται στο παραπάνω διάγραμμα. Συνδέστε σε σειρά το αμπερόμετρο με το LED για να μετρήσετε το ρεύμα που περνάει μέσα από αυτό, και συνδέστε παράλληλα το βολτόμετρο με το LED για να μετρήσετε την δια μέσου του τάση. Η τάση που εφαρμόζεται μπορεί να αλλάξει χρησιμοποιώντας το ποτενσιόμετρο η τον ροοστάτη
2. Αλλάξτε την τάση σε βήματα των 0.05 V από 0 V ως 3 V, και μετρήστε το ηλεκτρικό ρεύμα που προκύπτει. Παρατηρήστε ότι όταν το ρεύμα που περνά μέσα από το LED είναι μικρό, το LED μπορεί να μην ανάψει, αλλά το αμπερόμετρο μπορεί παρόλα αυτά να μετρήσει το ρεύμα. Για να προστατέψετε το LED, προσέξτε να κρατήσετε το ρεύμα κάτω από 5 mA.
3. Για κάθε LED, κάντε ένα γράφημα του ρεύματος ως προς την τάση, όμοιο με τα γραφήματα που φαίνονται στα αριστερά. Σε κάθε γράφημα, βρείτε την ευθεία γραμμή της ´βέλτιστης προσαρμογής´ για να ενώσετε τα σημεία που έχουν κλίση από τον άξονα x. Αν τα σημεία βρίσκονται κοντά στην γραμμή, αυτό δείχνει ότι η γραμμική σχέση ισχύει ανάμεσα στην εφαρμοζόμενη τάση και το ρεύμα σε αυτήν την περιοχή του γραφήματος
4. Τέλος, προσδιορίστε την τάση ενεργοποίησης (V_a) από τα δεδομένα που συγκεντρώσατε. Αυτό είναι το σημείο στο οποίο το ρεύμα αρχίζει να αυξάνεται γραμμικά με την τάση. Μπορεί να διαβαστεί απευθείας από το γράφημα με προέκταση προς τα πίσω της ευθείας γραμμής που αντιπροσωπεύει την περιοχή της γραμμικής απόκρισης μέχρι να συναντήσει τον άξονα x. Οι μαθητές μπορούν να το κάνουν αυτό οπτικά χρησιμοποιώντας έναν χάρακα, η μαθηματικά εφαρμόζοντας γραμμική παλινδρόμηση στα πειραματικά σημεία δεδομένων στην γραμμική περιοχή^w2.

Για να πάρετε τις πιο ακριβείς τιμές του Va για κάθε χρώμα του LED, μπορείτε να υπολογίσετε μια μέση τιμή χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα που πήραν μερικοί μαθητές.

Τυπικές τιμές για τις τάσεις ενεργοποίησης που λαμβάνονται μέσω αυτού του πειράματος φαίνονται στα δεξιά, μαζί με τις τιμές του μήκους κύματος του φωτός που εκπέμπεται από τα πολύχρωμα LED. Μπορείτε να δώσετε στου μαθητές αυτές τις τιμές του μήκους κύματος για το επόμενο στάδιο της δραστηριότητας στην τάξη. Εναλλακτικά, τα μήκη κύματος μπορούν να μετρηθούν χρησιμοποιώντας ένα σπιτικό φασματοσκόπιο, όπως αυτό που περιγράφεται στην παρακάτω αναφορά στο διαδίκτυο^w3.

Ανάλυση και αποτελέσματα

Όπως είδαμε πριν, η ενέργεια των εκπεμπόμενων φωτονίων E_p (που μετριέται σε joules), σχετίζεται με την σταθερά του Planck (h), την ταχύτητα του φωτός στο κενό (c), και το μήκος κύματος του φωτός λ μέσω του τύπου:

E_p = hc/λ  (1)​

Σε αυτό το πείραμα, έχουμε ένα εύρος τιμών από τα μήκη κύματος των χρωμάτων φωτός των LED, και ξέρουμε την τιμή για την ταχύτητα του φωτός c (2.9979 x 10⁸ms^-1). Αλλά πως χρησιμοποιούμε τις τιμές του Va που πήραμε πειραματικά για να υπολογίσουμε την σταθερά του Planck; Για να μάθουμε, ας δούμε τι συμβαίνει μέσα στα LED.

Όταν τα LED λειτουργούν σε χαμηλές τιμές τάσης, η εισροή ενέργειας δεν είναι αρκετή για να παράγει φωτόνια και το ηλεκτρικό ρεύμα είναι πολύ μικρό. Σε μια ορισμένη τάση, το LED αρχίζει να εκπέμπει φωτόνια: αυτή είναι η τάση ενεργοποίησης, V_a. Αυτή η ελάχιστη τάση για κάθε χρώμα του LED σχετίζεται με την ενέργεια των εκπεμπόμενων φωτονίων, E_p (εξίσωση 2). Και στην πραγματικότητα, όπως η E_p, η V_a σχετίζεται μαθηματικά με την σταθερά του Planck και το μήκος κύματος του εκπεμπόμενου φωτός, όπως φαίνεται από την παρακάτω εξίσωση:

V_a = E_p/e + φ/c  (2)​

Όπου e είναι το φορτίο του ηλεκτρονίου (1.6022 x 10⁻¹⁹ coulombs). Για τάσεις μεγαλύτερες από Va το ηλεκτρικό ρεύμα καθορίζεται από την εσωτερική αντίσταση του LED. Από τον νόμο του Ohm, τάση = ρεύμα x αντίσταση, παράγοντας μια γραμμική σχέση ανάμεσα στο ηλεκτρικό ρεύμα και την εφαρμοζόμενη τάση, όπως φαίνεται από τα παρακάτω γραφήματα τάσης-ρεύματος.

Στην εξίσωση 2, ο όρος (φ/e) είναι μια σταθερά που σχετίζεται με τις απώλειες ενέργειας μέσα στον p-n ημιαγωγό. (Για απλούστευση, μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτή η σταθερά είναι ίδια για όλα τα LED). Αφού το φ είναι άγνωστο, δεν είναι δυνατόν από την εξίσωση 2 να προσδιορίσουμε την σταθερά του Planck μετρώντας μόνο την τάση ενεργοποίησης. Παρόλα αυτά, αν η τάση ενεργοποίησης μετρηθεί σε μερικά LED που εκπέμπουν σε διαφορετικά γνωστά μήκη κύματος, τότε μπορούμε να βρούμε μια τιμή για το h με γραφική παράσταση του Va ως συνάρτηση της αντιστρόφου του μήκους κύματος (1/λ).

Αυτό γίνεται διότι η αναδιάταξη της εξίσωσης (2) μας δίνει αυτήν την εξίσωση:

V_a = hc/e(1/λ) + φ/c  (3)

Έτσι, το γράφημα του Va ως προς το 1/λ θα πάρει την μορφή ευθείας γραμμής με μια κλίση ίση με hc/e, από όπου η σταθερά του Planck μπορεί να υπολογιστεί εύκολα, δεδομένων των γνωστών τιμών των e και c. Αυτή η κλίση μπορεί να βρεθεί γραφικά με μια γραφική παράσταση και σχεδιάζοντας την καλύτερα προσαρμοσμένη στα δεδομένα γραμμή παλινδρόμησης, η μαθηματικά χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή γραμμικής παλινδρόμησης.^w2.

Η γραμμική παλινδρόμηση δίνει την ακόλουθη τιμή για την κλίση (m): m = 1.24811 x 10-6 Vm (volt metres) Από αυτή, η σταθερά του Planck μπορεί τελικά να υπολογιστεί. Από τα παραπάνω, m = hc/e, έτσι:

h = em/c (4)

   = 1.6022 x 10-19 x 1.24811 x 10-6/2.9979 x 108

   = 6.6704 x 10-34 Js (joule seconds)

Αυτή η τιμή συμφωνεί με την αποδεκτή τιμή για την σταθερά του Planck 6.62606957 x 10-34 Js – με ένα σφάλμα μόνο 0.7 τoις εκατό^w4. Οι τιμές που μπορεί να υπολογίσουν οι μαθητές σας μπορεί να απέχουν λίγο περισσότερο από την αποδεκτή τιμή, αλλά και πάλι να δίνουν μια ικανοποιητικά καλή προσέγγιση σε μια από τις θεμελιώδεις σταθερές της φύσης.

Download

Download this article as a PDF