Legi de simetrie

Tradus de Daniela Simona Ţîra

Toată lumea ştie ce este simetria, însă în acest articol, Mario Livio de la Institutul Ştiinţific de Cercetare Spaţială Baltimore, SUA, ne demonstrează faptul că nu numai formele ci şi legile naturii pot fi simetrice.

Toată lumea va observa că pata de cerneală din stânga este simetrică dar puţini ştiu că figura din dreapta este considerată şi ea simetrică din punctul de vedere al exactităţii matematice.Deci ce reprezintă simetria? Şi de ce a devenit acest concept atât de important, astfel încât mulţi oameni de ştiinţă îl consideră a fi baza legilor naturii?

Această pată de cerneală este evident simetrică…

… dar aşa este şi aceasta!

Atunci când lucrurile care s-ar putea schimba, nu se schimbă

Simetria reprezintă invarianţa la unele posibile modificări - care se produc în jurul unor centre fixe - ale formelor,enunţurilor, legilor sau expresiilor matematice, ce rămân nemodificate după anumite transformări. De exemplu, enunţul “Madam, I’m Adam” este simetric dacă este citit de la dreapta spre stânga, literă cu literă. Aceasta înseamnă că enunţul rămâne acelaşi dacă este citit de-a-ndoaselea. Titlul documentarului “A man, a Plan, a Canal, Panama”, are aceeaşi proprietate. Enunţurile cu acest tip de simetrie sunt cunoscute sub denumirea de palindroame iar palindroamele joacă un rol important în structura cromozomului Y, definitoriu pentru sexul bărbătesc. Până în anul 2003 cercetătorii din domeniul biologiei genetice credeau că, datorită faptului că cromozomului Y îi lipseşte un partener (cu ajutorului căruia putea face schimb de gene), încărcătura sa genetică era pe cale să scadă datorită mutaţiilor distrugătoare. Spre surprinderea lor totuşi, cercetătorii care au secţionat cromozomul Y au descoperit că acesta luptă împotriva distrugerii cu ajutorul palindroamelor. Aproximativ 6 milioane (din cele 50 milioane) de fragmente ADN ale cromozomului formează secvenţe de tip palindrom. Aceste copii “în oglindă” furnizează rezerve în caz de mutaţii distructive, şi permit cromozomului, într-un anumit fel, “să se autoreproducă” – prin împletire putând să-şi schimbe poziţia.

Pentru figurile şi formele bi-dimensionale, ca acelea desenate pe o bucată de hârtie, există exact patru tipuri de simetrie a “ rigidului” (care nu suferă alungiri sau distorsionări), cunoscute sub numele de: reflexie, rotaţie, translaţie şi reflexie cu alunecare.

Întâlnim simetria prin reflexie peste tot în jurul nostru – aceasta fiind simetria bilaterală familiară care caracterizează animalele. Trageţi o linie verticală prin mijlocul fotografiei unui fluture (dreapta). Acum îndoiţi fotografia pe mijloc, urmărind linia verticală. Suprapunerea perfectă rezultată indică faptul că fluturele rămâne neschimbat în urma reflexiei în jurul axei sale centrale. Multe litere ale alfabetului au şi ele aceeaşi proprietate. Dacă ţineţi o bucată de hârtie în faţa unei oglinzi, pe care aţi scris pe verticală enunţul “MAX IT WITH MATH” , va arăta la fel şi imaginea văzută în oglindă. Simetria prin rotaţie este şi ea foarte des răspândită în natură. Un fulg de zăpadă (dreapta), rotit cu 60, 120, 180, 240, 300 sau 360 de grade în jurul unei axe ce trece prin centrul său (perpendicular pe planul său) conduce la o configuraţie identică. Un cerc rotit cu orice unghi în jurul unei axe centrale, perpendiculare pe planul său, rămâne neschimbat. Simetria prin translaţie este tipul de invarianţă la schimbare întâlnit la motivele care se repetă, ca cel din cea de-a doua imagine. Translaţia înseamnă deplasarea sau schimbarea poziţiei cu o anumită distanţă de-a lungul unei drepte distincte. Multe dintre frizele clasice, desenele de pe tapete, motivele decorative de la ferestrele imenşilor zgârie-nori şi chiar şi centipedele manifestă acest tip de simetrie.

Simetria bilaterală a unui fluture Un flug de zăpadă are simetrie de rotaţie

În sfârşit, urmele paşilor lăsate în timpul plimbării au o simetrie de reflexie cu alunecare (vezi imaginea de mai jos). Transformarea care are loc în acest caz constă într-o translaţie (sau alunecare) urmată de o reflexie faţă de o linie paralelă cu direcţia deplasării (dreapta punctată).

Urmele paşilor rămân neschimbate după reflexia cu alunecare

Toate tipurile de simetrie prezentate până acum sunt simetrii ale formei sau înfăţişării care pot fi observate cu ochiul liber. Simetriile care stau la baza legilor fundamentale ale naturii sunt într-un fel strâns legate de cele prezentate; dar în loc să fie legate de forme sau figuri geometrice, ele lansează o altă întrebare: ce transformare trebuie să sufere lumea din jur astfel încât să lase neschimbate legile care descriu toate fenomenele observate?

Legi de simetrie

“Legile naturii” descriu în general un grup de reguli despre care se presupune că explică absolut tot ceea ce observăm în Univers. Faptul că ar putea exista un astfel de set de legi era de neconceput înaintea sec. al XVII-lea. Cercetările unor genii din lumea ştiinţei cum au fost Galileo Galilei (1564-1642), René Descartes (1596-1650) şi în special Isaac Newton (1642-1727) au fost acelea care au relevat clar faptul că o mână de legi puteau explica un domeniu larg de fenomene. Dintr-o dată fenomene diverse cum ar fi căderea merelor, apariţia mareelor şi mişcarea planetelor au putut fi explicate toate cu legile gravitaţiei ale lui Newton.

Într-un mod asemănător, pe baza impresionantelor rezultate experimentale ale lui Michael Faraday (1791-1867) şi ale fizicianului scoţian James Clerk Maxwell (1831-1879) au putut fi explicate toate fenomenele clasice electrice, magnetice şi optice, utilizând doar patru ecuaţii! Gândiţi-vă un moment la acest lucru – întreaga lume a electromagnetismului în patru ecuaţii!

S-a descoperit că legile naturii respectă câteva dintre simetriile pe care le-am întâlnit mai înainte, şi încă câteva mai ezoterice. Pentru început, s-ar putea specifica faptul că legile au o simetrie de translaţie. Manifestarea acestei proprietăţi este simplă: indiferent că realizaţi un experiment în New York sau în Los Angeles, la cealaltă extremitate a Căii Lactee sau într-o galaxie aflată la miliarde de ani-lumină de aici, veţi putea descrie rezultatele folosind aceleaşi legi. De unde ştim că acest lucru este adevărat? Pentru că observaţiile asupra galaxiilor din tot Universul arată nu numai faptul că legea gravitaţiei este aceeaşi acolo ca şi aici dar şi că atomii de hidrogen de la marginea Universului observabil se supun exact aceloraşi legi ale electromagnetismului sau ale mecanicii cuantice pe care le respectă şi aici pe Pământ.

Legile naturii au de asemenea şi o simetrie de rotaţie – legile arată exact la fel indiferent că ne orientăm direcţiile în raport cu polul nord sau cu cea mai apropiată cafenea – fizica nu are o direcţie preferată în spaţiu.

Dacă nu ar fi existat această simetrie remarcabilă de translaţie şi de rotaţie a legilor, nu am fi avut nici o speranţă să înţelegem vreodată diferitele părţi ale cosmosului. În plus, chiar aici pe Pământ, dacă legile nu ar fi simetrice, experimentele nu ar decurge identic în toate laboratoarele de pe suprafaţa terestră.

Legea gravitaţiei a lui Newton poate avea o simetrie de rotaţie dar asta nu înseamnă că şi orbitele au aceeaşi simetrie

Atenţie însă: trebuie făcută distincţie între simetriile formelor şi simetriile legilor. Grecii antici credeau că orbitele pe care se rotesc planetele în jurul Soarelui au o simetrie de rotaţie şi de aceea au o formă circulară. De fapt nu forma orbitei ci legea gravitaţiei lui Newton are o simetrie de rotaţie. Acest lucru înseamnă că orbitele pot fi (şi chiar sunt!) eliptice, dar în acelaşi timp ele pot să aibă orice orientare în spaţiu (vezi figura din stânga).

În primul paragraf nu am facut doar o simplă afirmaţie că legile se supun anumitor simetrii; de fapt, am afirmat cu tărie că simetria poate sta la baza legilor. Ce înseamnă acest lucru?

Baza legilor naturii

Imaginaţi-vă că n-aţi auzit niciodată de fulgi de zăpadă şi că cineva vă cere să ghiciţi forma unuia. În mod clar este o sarcină imposibil de îndeplinit, deoarece neştiind nimic despre el, fulgul poate arăta ca un ceainic, ca litera S sau ca iepuraşul Bugs Bunny.

Chiar dacă vi se dă forma unei ramuri a fulgului (dreapta, fig.a) şi vi se spune că aceasta este o parte a lui nu vă este de foarte mult ajutor. Fulgul poate arăta de exemplu ca în configuraţia b din dreapta. Dacă însă vi se spune că fulgul de zăpadă are o simetrie de rotaţie cu 60º în jurul unei axe ce trece prin centrul său, această informaţie poate fi utilizată într-un mod foarte eficient. Simetria limitează imediat posibilele configuraţii la fulgi cu şase colţuri, cu doisprezece colţuri, cu optsprezece colţuri etc. Dacă facem presupunerea, bazată pe experienţă, că natura va opta pentru cea mai simplă şi mai economică soluţie, cea mai rezonabilă presupunere ar fi fulgul de zăpadă cu şase colţuri (dreapta, fig. c). Cu alte cuvinte, necesitatea unei forme simetrice ne-a ghidat în direcţia corectă.

Încercând reconstrucţia unui fulg de zăpadă

În mod asemănător, cerinţa ca legile naturii să fie simetrice faţă de unele transformări ne dictează nu numai forma acestor legi ci, în unele cazuri, face necesară existenţa unor forţe sau a unor particule elementare încă nedescoperite. Pentru a explica acest lucru voi folosi două exemple interesante.

Unul dintre principalele scopuri pe care şi le-a propus Einstein în explicarea relativităţii generale a fost formularea unei teorii în care legile naturii să fie identice pentru toţi observatorii. Aşadar, legile trebuiau să fie simetrice faţă de orice schimbare din punctul nostru de vedere din spaţiu şi timp (în fizică, acest lucru este cunoscut ca şi “covarianţă generală”). Un observator situat pe spatele unei broaşte ţestoase uriaşe va trage aceleaşi concluzii ca şi un observator situat într-un carusel sau într-o rachetă care se deplasează accelerat. Într-adevăr, dacă legile sunt universale, de ce ar trebui să depindă de faptul că observatorul se mişcă accelerat?

Deşi cerinţa de respectare a simetriei pusă de Einstein a fost fără îndoială raţională, în nici un caz nu ar putea fi considerată banală. De fapt numai în Statele Unite, în fiecare an, un milion de răni provocate de loviturile de bici demonstrează faptul că simţim acceleraţia. De fiecare dată când un avion intră într-un gol de aer, simţim cum stomacul ne sare în gât – acest lucru demonstrând o diferenţă evidentă între mişcarea uniformă şi cea accelerată. Aşa încât, cum ar putea fi identice legile naturii pentru observatorii aflaţi în mişcare accelerată, când se pare că aceşti observatori experimentează forţe suplimentare?

Consideraţi următoarea situaţie. Dacă staţi pe un cântar în interiorul unui lift care accelerează în sus, picioarele dumneavoastră exercită o presiune mai mare asupra cântarului - deci va indica o greutate mai mare (jos, fig.a). Acelaşi lucru se va întâmpla şi în situaţia în care forţa gravitaţională devine mai puternică într-un lift în repaus. Într-un lift care accelerează în jos veţi avea aceeaşi senzaţie ca şi când forţa gravitaţională ar scade (jos,fig.b). Dacă ar ceda cablul de susţinere al liftului, dumneavoastră şi cântarul v-aţi afla în cădere liberă la unison şi cântarul ar indica greutate zero (jos, fig. c). Căderea liberă este echivalentă din această cauză cu situaţia în care cineva a întrerupt forţa gravitaţională în mod miraculos. Acest fapt l-a condus pe Einstein în 1907 la o concluzie uimitoare: forţa gravitaţională şi forţa apărută în mişcarea accelerată sunt de fapt una şi aceeaşi forţă. Această puternică unificare a întărit “principiul echivalenţei”, implicând faptul că acceleraţia şi gravitaţia sunt de fapt două feţe ale aceleaşi forţe – indicând faptul că sunt echivalente.

Măsurarea greutăţii într-un ascensor – mărirea greutăţii în timpul accelerării în sus a ascensorului (a), micşorarea greutăţii în timpul accelerării în jos (b) şi pierderea greutăţii în timpul căderii libere (c)

La o conferinţă susţinută la Kyoto în anul 1922, Einstein a descris astfel acel moment de iluminare pe care l-a avut în anul 1907: “Stăteam în biroul de brevete din Berna când dintr-odată mi-a venit o idee: dacă o persoană se află în cădere liberă, nu-şi va simţi propria greutate. Am fost uimit. Această simplă idee mi-a lăsat o impresie profundă. M-a condus spre o teorie a gravitaţiei.”.

Principiul echivalenţei este într-adevăr o formulare a simetriei universale: legile naturii - aşa cum sunt exprimate de ecuaţiile lui Einstein ale relativităţii generale – sunt identice în toate sistemele de referinţă, inclusiv în cele aflate în mişcare accelerată. Aşa încât, de ce există diferenţe aparente între ceea ce se observă într-un carusel şi într-un laborator în repaus? Relativitatea generală furnizează un răspuns surprinzător. Există diferenţe legate numai de condiţiile de mediu şi nu de legile propriu-zise. În mod asemănător, direcţiile sus şi jos par să fie diferite pe Pământ datorită atracţiei gravitaţionale a acestuia. Chiar şi legile naturii nu au direcţii preferate (au o simetrie de rotaţie) şi nu fac distincţie între sus şi jos. Observatorii dintr-un carusel, potrivit relativităţii generale, simt forţa centrifugă care este echivalentă cu o forţă gravitaţională. Concluzia este într-adevăr senzaţională: simetria legilor faţă de orice schimbare de coordonate spaţio-temporale necesită existenţa gravitaţiei! Acest fapt explică de ce simetria stă la baza forţelor. Necesitatea existenţei simetriei nu dă naturii nici o altă posibilitate: gravitaţia trebuie să existe.

---

Dr. Mario Livio este astrofizician principal la Institutul ştiinţific de cercetare spaţială (STScl; Baltimore, MD, SUA), institutul care conduce programul ştiinţific al telescopului spaţial Hubble.

Interesele sale s-au extins pe un domeniu larg de subiecte din astrofizică, de la cosmologie până la apariţia vieţii inteligente. A făcut multe cercetări fundamentale asupra problemei creşterii masei corpurilor care intră în găurile negre, a stelelor neutronice şi a piticelor albe, ca şi asupra formării găurilor negre şi asupra posibilităţii de a extrage energie de la ele. Anii anteriori, cercetările sale s-au concentrat asupra exploziilor supernovelor şi utilizării lor în cosmologie pentru determinarea naturii “energiei negre” care împinge Universul într-o mişcare accelerată, cât şi asupra planetelor din afara Sistemului Solar. Cea mai recentă şi mai populară carte a lui, “Ecuaţia care n-a putut fi rezolvată”, tratează problema simetriei.

Acest articol a fost publicat prima dată într-o formă extinsă în Plus, o revistă care poate fi accesată liber pe Internet, care-şi propune să-şi familiarizeze cititorii cu frumuseţea şi aplicaţiile matematicii.